主成分分析

主成分分析の基本　≪ １/３ ≫

主成分分析とはどのような解析手法か

　多変量解析の手法は、目的変数が「ある場合」と「ない場合」の二つに分けられます。目的変数のない場合の手法は、説明変数が「数量データの場合」と「カテゴリーデータの場合」の二つに分けられます。説明変数が数量データの場合の手法は、主成分分析と因子分析があります。どちらの手法も、数多くの変数から新しい概念の変数を作ります。新しく作られた概念の変数を潜在変数といいます。これに対し、元の変数を観測変数といいます。

　学校でのテスト成績を例にとると、通常、文系能力は国語と英語の合計、理系能力は数学と理科の合計で示します。しかし、国語や英語には文法問題、数学や理科には文書問題があり、「国語＋英語」は文系能力、「数学＋理科」は理系能力とは言い切れません。主成分分析は別の視点で文系能力、理系能力を見出す解析手法です。主成分分析より求められた文系・理系能力を潜在変数、単純に合計して求めた文系・理系得点を観測変数といいます。

　ＡとＢどちらにしても、英語、国語、数学、物理、化学の５つの観測変数を２つの潜在変数に集約し、一枚の散布図で１０人の特色を明確に表しています。このすばらしい手法が因子分析と主成分分析で、Ａの潜在変数を作成するのが因子分析、Ｂの潜在変数を作成するのが主成分分析です。
すなわち、潜在変数に総合学力、総合体力、総合企業力など総合力を見出したい場合は、主成分分析を適用します。
　まず始めに、主成分分析について学びます。

主成分分析が適用できるテーマ

　新人タレントを採用するために、芸能プロダクションはいろいろなオーディションを行っています。下記の表は、あるオーディションにおける受験者の歌唱力、瞬間芸、ものまね、踊り、容姿の成績（１０点満点評価）を示したものです。

　

この成績から、各人のタレントとしての総合力、アイドル系・お笑い系の能力を把握し、採用の有無、採用後のキャラクター作りの決定を判断したいと思います。
　このデータは説明変数だけで目的変数がありません。データは全て数量データです。分析を通し新しく見出す潜在変数に総合力があります。これらからこのテーマは、主成分分析の適用が最適だといえます。

主成分分析が適用できるデータ

• 　目的変数がある場合の手法は、説明変数の個数より個体数が多くなければいけませんでしたが、主成分分析は説明変数の個数が個体数より多くても実行できます。
• 　目的変数のない場合の手法で係数矛盾現象は起こりません。したがって説明変数相互の相関が高いデータでも問題ありません。
• 　ある観測変数のデータが全て同じ場合、多変量解析同様実行できません。

主成分分析を適用する前の基本分析

　総合評価を調べるために、５科目の平均値を算出しました。５人採用とすれば、Ｂ，Ｄ，Ｆ，Ａ，Ｃが合格です。
アイドル系能力は歌唱力、踊り、容姿の平均値で、お笑い系能力は歌唱力、瞬間芸、ものまねの平均値で調べました。歌唱力はアイドル系、お笑い系どちらにも重要な要素であると考え、両方の能力に適用しました。
　Ｂはどちらの能力も優れているのでマルチタレント、ＤとＦはアイドル系タレント、ＡとＣはお笑い系タレントとして育成することにします。
　ここで、５日科目平均値による総合評価について検討してみましょう。

　ある生徒の５科目の得点を ｘ１、 ｘ２、 ｘ３、 ｘ４、 ｘ５とし、その生徒の５科目平均値を式で示しました。変形した式の係数をみると、どの科目も０.２です。５科目平均値が総合評価だとしましたが、どのテスト科目も重要度は同じという考え方で総合評価を算出したということです。