統計探偵物語　第４話

「常夏市の気温データをいただけますか。」

「はい、このデータから2015年と2020年の8月の平均を推計させていただきます。結果がでましたらご連絡させていただきます。」

「そしてどうしたの？」

「予測値を求める考え方はよいけど、直線の引き方に疑問を感じるね。」

「やっぱり、真ん中を通る直線を適当に引いたのはまずいですね。」

「どのような考え方で直線を引くのか教えてください。」

「差の2乗の合計はいくつかな。」

　「8.16です。」

「この値を残差平方和というんだ。」

「残差平方和を計算するとき、なぜ差の2乗をするんですか。」

「差の合計だと、いかなる場合も0になるので、残差平方和は差の2乗の合計なんだ。」

「なるほど、よく分かりました。」

「他の直線Ｙ１、Ｙ２についても残差平方和を求めてください。」

　「Ｙ１です。」

「【図表4 無数引ける直線】と【図表9 各直線の残差平方和】と突き合わせて見てください。平均気温の各点が直線に近いのはＹ１だ。このＹ１の残差平方和が最も小さいよね。」

「はい、その通りです。」

「残差平方和が最小となる直線が最適な直線といえるんだ。」

「分かりました。」

「このような考え方で直線を導く方法を、最小二乗法というのだ。」

「考え方はわかりましたが、いくつもの直線について残差平方和を求めるのは大変な作業になります。もっと簡単な方法で直線を求める方法はないのでしょうか。」

「あるよ」

（もぉう～それなら最初から教えてくれればいいのにと思いつつ）
「教えてください。」

「図表1においては、経過年が決まれば平均気温がピッタリ決まるという関係が見られない。だから経過年と平均気温の関係を、関係式で表すことはできないんだ。」

「『あんまん』ときたか。そうだよ、『あんまん』の個数が決まれば購入金額がピタリと決まる。だから、購入金額＝100円×『あんまん』個数という関係式で表せる。経過年と平均気温はこのような関係式で表せないということだ。」

「わかりましたけど、だから何なの。」

（”だから何なの”に、くじけそうになる所長・・・)
「『あんまん』と購入金額のような関係はないものの、年が経過するにつれ平均気温が高まる、という傾向が図から見ることができる。だから、経過年と平均気温はまったくの無関係であるともいえないんだ。」

「そうですね。」

「このような2つの事柄（変数）、例えばＸとＹについて、Ｘの値が決まればＹの値が決まるというわけでないが、両者の間になんらかの関係が見られるとき、適当な直線を決めてあげれば、Ｘの値に対してＹの平均的な値を推定することができる。
このように直線をあてはめることを「関数式のあてはめ」といい、その方法は回帰分析という解析手法で行なうことができるんだ。」

「わざと説明を難しくしているみたいですけど、理解はできました。」

「回帰分析は色々な分野で適用されるが、直線のあてはめで回帰分析を用いる場合、直線回帰分析という。」

「直線の式はＹ＝ａＸ＋ｂでしたよね。」

「そうだよ。Ｙ３の直線の式は？」

「エーット。」

「うろ覚えではいかんぞ。」

「あちゃぁ～」

「Ｘが0のとき、Ｙの値はいくつかな。」

「直線が縦軸と交わるところの値ですね。24です。」

「その値がＹ＝ａＸ＋ｂのｂの値だ。」

「ａは直線の傾きと覚えていましたので、0.5ですよね。

「ＯＫ」
「それでは、残差平方和が最小となる直線Ｙ＝ａＸ＋ｂのａとｂの求め方を教えよう。
いつだったか、雪乃君の学生時代の友人美咲さんから相談された件で、単相関係数を適用したよね。」

第2話　「練習するほど腕立て伏せの回数は増えるといえるかを教えて」を参照

「はい、単相関係数を使いました。」

「平均気温と時間変数Ｘの単相関係数を算出してください。」

「単相関係数の計算手順にしたがい「図表12」を作成しました。」

「ご苦労さん。単相関係数を求めてもらったけど、残念ながら、今回は使わないよ。」

「そんなー」

「ということは13÷28で、ａは0.4643ですね。」

「ｂの求め方を説明しよう。ｂは次の式で求められる。」

ｂ＝平均気温の平均　－　ａ　×　時間変数Xの平均

「計算手順表から平均気温の平均は26、時間変数Xの平均は4だから、
b＝26－0.4643×4＝24.14　です。」

「ＯＫ、それではこの関係式にX＝1,2,3,4,5,6,7を代入し、Yの値を求めてください。」

「求めたYの値と平均気温のグラフを描いてください。」

「グラフの直線が最も当てはまりの良い直線ということだよ。」

「直線の残差平方和を求めてみます。」

「図表12を適用し、ａ、ｂの算出公式から導かれた直線が、最も当てはまりのよい直線になることは数学的に証明されているんだ。
ここでは省略しよう。」

「了解です。」

「求められた直線に2015年、2020年の時間変数Ｘの値を代入すれば、2015年、2020年の平均気温が予測できるよ。」

「ＯＫ」

「ばっちりじゃないか。この結果をきちんと常夏市環境課の佐藤さんに説明できるかテストしよう。」

「そんなー。」

「他市の平均気温のデータがある。（図表17参照）
この市の平均気温は上下変動して推移している。
このデータに直線回帰分析を行い、直線式、残差平方和を求め、平均気温の推移に直線を引く。そして2015年、2020年の平均気温を予測するというテストだ。」

「できました。」（図表18～22参照）

「よくできた、合格だ。」

「嬉しいです。」

「残差平方和は1.21（図表21参照）で、常夏市の残差平方和0.12に比べ大きいが、その理由は？」

「他市の平均気温は上下に大きく変動して推移しているから、直線の当てはまりが悪いのだと思います。」

「そこでだ。残差平方和のＳyy（平均気温の偏差平方和）に占める割合を計算するんだ。」

「常夏市について求めてみます。Ｓyyは6.16、残差平方和は0.12だから、0.12÷6.16＝0.02です。」

「他市は？」

「Ｓyyは3.21、残差平方和1.21だから、1.21÷3.21＝0.38です。」

「この値が小さいほど当てはまりが良いことは分かるよね。」

「はい」

「この値を定数1から引いた値が有名な決定係数なんだ。」

「ということは、常夏市の決定係数は１－0.02＝0.98、
他市の決定係数は１－0.38＝0.62です。」

「ＯＫ」

「決定係数は大きいほど当てはまりが良いということですね。」

「そうだ。決定係数が大きければ2015年、2020年の平均気温予測値は信頼できる数値と考える。」

「決定係数が低いということを私なりに考えてみました。平均気温の推移に直線を当てはめてみたものの、上下変動が大きく推移しているので、『将来の平均気温は求められた直線上にあるといいきるのは危険』である。」

「なかなかいいじゃないか。素晴らしい。」

「決定係数はいくつ以上あれば良いという基準はありますか。」

「統計学的基準はないが、私の経験として0.5以下だと導かれた直線の式は予測には適用できないと思う。」

「常夏市の直線式の決定係数は0.98なので、予測値の精度は高いということですね。」

「その通り。」

「Excelで直線式を求める機能はありますか。」

「あるよ。」

「教えてください。」

「2つの方法があるので、まずは1つ目を教えよう。」

「Excelの回帰分析はよく使うのでしっかりとマスターしておくように。」

「今回は丁寧に教えていただきありがとうございました。」

「はい、がんばります！」