共分散分析

共分散分析（ANCOVA）≪ ４/４ ≫

回帰係数有意性の検定を解説

ｆａ → 1に 固定
ｆｅ → n－群数－1
Ｓａ → 個別回帰式群合算Ｓｙｙ偏差平方和」－「共通回帰式残差平方和」
　 注.「個別回帰式群合算Ｓｙｙ偏差平方和」 → ＜3群データ＞個別回帰式※1の値
Ｓｅ → 「共通回帰式残差平方和」 　
Ｖａ → Ｓａ÷ｆａ
Ｖｅ → Ｓｅ÷ｆｅ
Ｆ → Ｖａ÷Ｖｅ
p値 →  Excel関数 =FDIST(分散比F,fa,fe)
　　　　判定 　[**] p値≦0.01　 [ *] 0.01＜ｐ値≦0.05　　[ ] ｐ値＞0.05

3群データの回帰係数有意性の検定結果は下記の通りである。

上記表の計算方法を示す。
ｆａ → 1 固定 　　
ｆｅ → 31－3－1＝27
Ｓａ → 28817.5－7568.56＝21248.99
Ｓｅ → 7568.56
Ｖａ → 21248.99÷1＝21248.99
Ｖｅ → 7568.56÷27＝280.32
Ｆ → 21218.99÷280.32＝75.80
ｐ値 →  Excel関数 =FDIST (75.80,1,27) Enter  0.0000

共通回帰式残差平方和の求め方
共通回帰式に年齢を代入し理論値を算出する。
　　例　No1の理論値　ｙ＝5..655×23歳＋526.7＝656.7
　　　　No1の残差平方　（No1年収実績値－No1理論値）²＝638.0
　　31人の残差平方を合計する。この値が共通回帰式残差平方和である。

回帰係数平行性の検定を解説

ｆａ →　群数—1
ｆｅ→ n－2×群数
Ｓａ→「共通回帰式残差平方和」－「個別回帰式残差平方和」　　　　　　
　　注.：「共通回帰式残差平方和」 → 「回帰係数有意性の検定を解説」の
　　　　　　　　　　　　　　　　　「共通回帰式残差平方和の求め方」表内赤枠　参照
　　　　「個別回帰式残差平方和」 →「回帰係数平行性の検定」の
　　　　　　　　　　　　　　　　　「個別回帰式残差平方和の求め方 」表内赤枠　参照
Ｓｅ→「個別回帰式残差平方和」 →　「回帰係数平行性の検定」の
　　　　　　　　　　　　　　　　　「個別回帰式残差平方和の求め方 」表内赤枠　参照
Ｖａ→ Ｓａ÷ｆａ
Ｖｅ→ Ｓｅ÷ｆｅ
Ｆ→ 　Ｖａ÷Ｖｅ
ｐ値→  Excel関数=FDIST(分散比F,fa,fe)
　　　　判定 　[**] p値≦0.01　 [ *] 0.01＜ｐ値≦0.05　　[ ] ｐ値＞0.05
3群データの回帰係数平行性の検定結果は下記の通りである。

　ｆａ→ 3－1＝2 　　　　
　ｆｅ→ 31－2×3＝25
　Ｓａ → 7568.6－7543.96＝24.60 　
　Ｓｅ → 7543.96
　Ｖａ →24.60÷2＝12.30
　Ｖｅ→ 7543.96÷25＝301.76
　Ｆ → 12.30÷301.76＝0.0408
　ｐ値→ Excel関数で　=FDIST (0.0408,2,25) Enter  0.9601

個別回帰式残差平方和の求め方
個別回帰式に年齢のデータを代入し理論値を算出する。
残差平方は（年収データ－理論値）の2乗である。

調整済み平均の有意差検定を解説

＜3群データ＞調整済み平均の有意差検定の表を再度下記に示す。

調整済み平均の有意差検定の統計量の求め方を解説する。
統計量は次に示す方法でデータを作成し、このデータに重回帰分析を行うことによって求められる。
重回帰分析は（群数－1）ケース行う。この例は3群なので重回帰分析は2ケース行う。
したがって、データも2ケース作成する。
＜ケース1＞のデータ
目的変数　年収データ
説明変数　群データ（会社）を1,0データに変換した2項目と年齢データとする。
　　　　　1,0データの項目名はAB、ACとする。
＜ケース2＞のデータ
目的変数　年収データ
説明変数　群データ（会社）を1,0データに変換した2項目と年齢データとする。
　　　　　1,0データの項目名は、無名、BCとする。

この例は3群だが4群（A、B、C、D）の場合の1,0データの作成方法を示しておく。

群数4なので重回帰分析用データは3ケース（群数－1）作成。
・群1をA、群2をB、群3をC、群4をDとする。
＜ケース1＞
・項目名をAB、AC、ADとする。（英字がある項目名の先頭すべてA）
・AB、AC、ADは項目名先頭にAがあるので、群1（A）の塊は全て0。（ピンク色）。
・ABは項目名後ろにBがあるので、群2（B）の塊は1。（紺色）　
・ACは項目名後ろにCがあるので、群3（C）の塊は1。（紺色）
・ADは項目名後ろにCがあるので、群4（D）の塊は1。（紺色）
・その他のセルはすべて0とする。
＜ケース2＞
・項目名を無名、BC、BDとする。（英字がある項目名の先頭すべてB）
・BC、BDは項目名先頭にBがあるので、群2（B）の塊は全て0。（ピンク色）。
・BCは項目名後ろにCがあるので、群3（C）の塊は1。（紺色）
・BDは項目名後ろにDがあるので、群4（D）の塊は1。（紺色）
・その他のセルはすべて0とする。
＜ケース3＞
・項目名を無名、無名、CDとする。（英字がある項目名の先頭はC）
・CDは項目名先頭にCがあるので、群3（C）の塊は全て0。（ピンク色）。
・CDは項目名後ろにDがあるので、群4（D）の塊は1。（紺色）

　先の3群データの重回帰分析用データを示す。

重回帰分析の結果を示す。

ｐ値
　統計量はｔ分布に従う。
　ｐ値はExcel関数で求められる。
　自由度＝個体数－群数－1＝31－3－1＝27
　 Excel関数　=TDIST(統計量、自由度)　
　　ABのｐ値　=TDIST（2.45，27）　Enter  　0.0213
　　ACのｐ値　=TDIST（1.63，27）　Enter  　0.1146
　　BCのｐ値　=TDIST（0.91，27）　Enter  　0.3727

切片が異なるか否かの検定 （水準間の差の検定）を解説

調整済み平均の有意差検定を行う前に実施すべき検定が「切片が異なるか否かの検定」である。
下記は「別の事例」ページで示した図である。

切片が異なるか否かの検定の結果を示す。

ｐ値＞0.05より、3群の調整済み平均は同等であるといえる。
ｐ値≦0.05となった場合、3群の調整済み平均は同等でないといえる。
この場合、先に示した3群間相互の調整済み平均の有意差検定を実施する。

　留意点1　「切片が異なるか否かの検定」では、3群の調整済み平均は同等であるといえる。
　　　　　　先の「調整済み平均の有意差検定」ではPとQで有意差が見られた。
　留意点2　このように、両者の検定で結論が異なることがあり、「切片が異なるか否かの検定 (水準間の差の検定)」
　　　　　　をせず、ダイレクトに「調整済み平均の有意差検定」を見るのが良いとされている。
「切片が異なるか否かの検定」を適用する場面はほとんどないが、この検定の計算方法を示しておく。
下記は、「＜２群データ＞調整済み平均の算出の考え方」で示した図である。

調整済み平均の差分は、共通回帰式と縦軸切片との交点から作られる差分と同じである。
したがって、切片の差が異なれば、調整済み平均の差も異なるがいえる。

ｆａ　→　群数－1　　　　
ｆｅ　→　n – （1＋ 群数）　
Ｓａ　→ 「全体回帰式偏差平方和」－「共通回帰式残差平方和」
　注.：「全体回帰式偏差平方和」 → 下表「全体回帰式残差平方和の求め方」赤枠参照
　　　　　 　　　「共通回帰式残差平方和」→「回帰係数有意性の検定を解説」の
　　　　　　　　　　　　　　　　　 「共通回帰式残差平方和の求め方」表内赤枠　参照　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
Ｓｅ　→ ［共通回帰式残差平方和」
　　　　　注：「回帰係数有意性の検定を解説」の「共通回帰式残差平方和の求め方」表内赤枠　参照）
Ｖａ→ Ｓａ÷ｆａ
Ｖｅ→ Ｓｅ÷ｆｅ
Ｆ→ 　Ｖａ÷Ｖｅ
ｐ値→  Excel関数=FDIST(分散比F，ｆａ，ｆｅ)
　　　判定 　[**] p値≦0.01　 [ *] 0.01＜ｐ値≦0.05　　[ ] ｐ値＞0.05

3群データにおける切片が異なるか否かの検定の結果を再度示す。

　ｆａ → 3－1＝2 　　　　
　ｆｅ → 31－(1+3)＝27
　Ｓａ → 9297.9－7568.6＝1729.33 　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　Ｓｅ → 7568.6
　Ｖａ → 1729.3÷2＝864.67 　　　　
　Ｖｅ → 7568.6÷27＝280.32
　Ｆ　→ 864.67÷280.32＝3.08
　ｐ値 →  Excel関数 ＝FDIST (3.08,2,27) Enter  0.0622

全体回帰式残差平方和の求め方
全体回帰式に年齢のデータを代入し理論値を算出する。
残差平方は（年収データ－理論値）の2乗である。